Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)

   Решение

Сфера радиуса касается плоскостей всех боковых граней некоторой пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите высоту пирамиды, если её основанием служит треугольник со сторонами 5, 6 и 9.

   Решение

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E₁; продолжения сторон BC и DE – в точке A₁. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE₁C, пересекает ω в точке B₁; аналогично определяется точка D₁. Докажите, что  B₁D₁ || AE.

   Решение

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E₁; продолжения сторон BC и DE – в точке A₁. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE₁C, пересекает ω в точке B₁; аналогично определяется точка D₁. Докажите, что  B₁D₁ || AE.

Решение

Отметим вне окружности на луче B₁B точку M, а на луче D₁D точку N (см. рис.). По теореме об угле между касательной и хордой равны углы MBE₁ и BCE₁, а также NDA₁ и DCA₁. Используя равенство вертикальных углов, получим, что  ∠ABB₁ = ∠MBE₁ = ∠BCE₁ = ∠DCA₁ = ∠NDA₁ = ∠EDD₁.  Следовательно, дуги AD₁ и EB₁ равны, откуда и следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования