Задача 64398

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Швецов Д.В., Зайцева Ю., Соколов А.

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ω_a с центром I_a касается стороны BC в точке A₁ и прямых l и AC. Окружность ω_c с центром I_c касается стороны BA в точке C₁ и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A₁BC₁ лежит на прямой I_aI_c.

Решение

Так как  ∠BAI_c = ∠BCI_a = 60°,  точки, симметричные I_c и I_a относительно BA и BC соответственно, лежат на прямой AC. С другой стороны,
∠ABI_c + ∠CBI_a = 60° = ∠ABC,  следовательно, прямые, симметричные BI_c и BI_a относительно AB и BC, пересекают AC в одной и той же точке J (см. рис.). Значит, A₁C₁ – средняя линия треугольника JI_aI_c. Тогда высоты треугольника A₁BC₁, проведённые из вершин A₁ и C₁, параллельные радиусам I_cC₁, I_aA₁ соответственно, тоже являются средними линиями этого треугольника и пересекаются в середине отрезка I_aI_c.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6