|
|
 |
Условие
Даны две окружности, одна из которых лежит внутри другой. Из произвольной точки C внешней окружности проведены касательные к внутренней, вторично пересекающие внешнюю в точках A и B. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников ABC.
Решение
Обозначим через R и r радиусы внешней (Ω) и внутренней (ω) окружностей, соответственно, а через D – центр ω (см. рис.). Пусть C' – середина дуги AB окружности Ω, не содержащей точку C, а I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда точки I и D лежат на CC', а по лемме о трезубце (см. задачу 53119) C'I = C'A = 2R sin ∠ACC'.
С другой стороны, если P – точка касания AC с ω, то кроме того, произведение d = CD·C'D – это степень точки D относительно Ω, взятая со знаком минус, то есть оно постоянно. Значит,
откуда
Итак, точка I лежит на окружности, полученной из Ω гомотетией с центром D и коэффициентом .
Наоборот, для любой точки I этой окружности можно восстановить точки C и C' как точки пересечения ID с Ω; при этом точка C' выбирается как образ I при обратной гомотетии. Для полученной точки C точка I является требуемым центром; значит, каждая точка полученной окружности подходит.
Замечания
Если 2Rr = d, то полученная окружность вырождается в точку; в этом случае из приведённого решения легко получить формулу Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей.
