ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64410
Тема:    [ Производная и кратные корни ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при  n > 0  многочлен  P(x) = n²xn+2 – (2n² + 2n – 1)xn+1 + (n + 1)²xn – x – 1  делится на  (x – 1)³.


Решение

  P(1) = n² – (2n² + 2n – 1) + (n + 1)² – 2 = 0,
  P'(1) = (n + 2)n² – (n + 1)(2n² + 2n – 1) + n(n + 1)² – 1 = n² – (n + 1)(n² + 2n + 1) + 2(n + 1) + n(n + 1)² – 1 = n² – (n + 1)² + 2n + 1 = 0,
  P"(1) = (n + 2)(n + 1)n² – n(n + 1)(2n² + 2n – 1) + n(n – 1)(n + 1)² = n(n + 1)((n + 2)n – (2n² + 2n – 1) + n² – 1) = 0.
  Это и значит, что P(x) делится на  (x – 1)³.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 4
Название Многочлены с кратными корнями
Тема Многочлены (прочее)
задача
Номер 06.103

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .