Задача 64410

Тема:    [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что при  n > 0  многочлен  P(x) = n²xⁿ⁺² – (2n² + 2n – 1)xⁿ⁺¹ + (n + 1)²xⁿ – x – 1  делится на  (x – 1)³.

Решение

  P(1) = n² – (2n² + 2n – 1) + (n + 1)² – 2 = 0,
  P'(1) = (n + 2)n² – (n + 1)(2n² + 2n – 1) + n(n + 1)² – 1 = n² – (n + 1)(n² + 2n + 1) + 2(n + 1) + n(n + 1)² – 1 = n² – (n + 1)² + 2n + 1 = 0,
  P"(1) = (n + 2)(n + 1)n² – n(n + 1)(2n² + 2n – 1) + n(n – 1)(n + 1)² = n(n + 1)((n + 2)n – (2n² + 2n – 1) + n² – 1) = 0.
  Это и значит, что P(x) делится на  (x – 1)³.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.103