ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64429
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник АВС. Точки B' и C' симметричны его вершинам В и С относительно прямых АС и АВ соответственно. Описанные окружности треугольников АВВ' и ACC', вторично пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая АР проходит через центр O описанной окружности треугольника АВС.


Решение

  Так как АС – серединный перпендикуляр к отрезку BB', то центр ОВ описанной окружности ΩB треугольника АВВ' лежит на прямой АС. Аналогично, центр ОС описанной окружности ΩC треугольника ACC' лежит на прямой АВ (см. рис.).

  Проведем описанную окружность Ω треугольника АВС. Общей хордой Ω и ΩB является отрезок АВ, поэтому линия центров ООВ является серединным перпендикуляром к АВ. Аналогично ООС – серединный перпендикуляр к стороне АС. Обозначив точки пересечения ООВ с АВ и ООС с АС через С0 и В0 соответственно, получим, что ОВС0 и ОСВ0 – высоты треугольника АОВОС, а точка О их пересечения – ортоцентр этого треугольника.
  Отрезок АР – общая хорда ΩB и ΩC, значит, он перпендикулярен их линии центров ОВОС. Следовательно, прямая АР содержит третью высоту треугольника АОВОС и поэтому проходит через точку О.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .