|
|
 |
Условие
Дан остроугольный треугольник АВС. Точки B' и C' симметричны его вершинам В и С относительно прямых АС и АВ соответственно. Описанные окружности треугольников АВВ' и ACC', вторично пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая АР проходит через центр O описанной окружности треугольника АВС.
Решение
Так как АС – серединный перпендикуляр к отрезку BB', то центр ОВ описанной окружности ΩB треугольника АВВ' лежит на прямой АС. Аналогично, центр ОС описанной окружности ΩC треугольника ACC' лежит на прямой АВ (см. рис.).
Проведем описанную окружность Ω треугольника АВС. Общей хордой Ω и ΩB является отрезок АВ, поэтому линия центров ООВ является серединным перпендикуляром к АВ. Аналогично ООС – серединный перпендикуляр к стороне АС. Обозначив точки пересечения ООВ с АВ и ООС с АС через С0 и В0 соответственно, получим, что ОВС0 и ОСВ0 – высоты треугольника АОВОС, а точка О их пересечения – ортоцентр этого треугольника.
Отрезок АР – общая хорда ΩB и ΩC, значит, он перпендикулярен их линии центров ОВОС. Следовательно, прямая АР содержит третью высоту треугольника АОВОС и поэтому проходит через точку О.
