|
|
 |
Условие
На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что АВ = 16, ВС = 12. Найдите EF.
Решение
Из условия задачи следует, что прямоугольник и ромб имеют общий центр симметрии О. Из прямоугольного треугольника АВС найдём, что АС = 20 (см. рис.). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть AE = EC = x, тогда ВЕ = 16 – x. Из прямоугольного треугольника СВЕ: x² = 122 + (16 – x)². Отсюда x = 12,5. Из прямоугольного треугольника СОЕ: ОЕ² = EC² – СО² = 7,5²; тогда ЕF = 2OE = 15.
Второй способ. Точки B и O лежат на окружности с диаметром CE. По теореме о произведении отрезков секущей AE·AB = AO·OC, то есть 16AB = 200, откуда AB = 12,5. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма EF² = 4AE² – AC² = 25² – 20² = 15².
Ответ
15.
