ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64457
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вневписанная окружность, соответствующая вершине A прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°),  касается продолжений сторон AB, AC в точках A1, A2 соответственно; аналогично определим точки C1, C2. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые C1C2, A1C1, A1A2 соответственно, пересекаются в одной точке.


Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, D – четвёртая вершина прямоугольника ABCD. Так как  AIA1A2CIC1C2,  то перпендикуляры, опущенные из точки A на CC1 и из точки C на AA1 пересекаются в центре J окружности, вписанной в треугольник ACD. Поэтому достаточно доказать, что  DIA1C1.  Пусть X, Y, Z – проекции I на прямые AB, BC, CD соответственно. Как известно (см. задачу 55404),  BC1 = XC2 = ZD  и  A1B = CY = IZ,  значит, треугольники A1BC1 и IZD равны и  ∠IDZ = ∠A1C1B  (см. рис.). Отсюда и следует искомая перпендикулярность.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
год
Год 2013
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .