Задача 64465

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

Решение

Вписанные окружности треугольников ACC’ и BCC’ касаются стороны CC’ в одной и той же точке (см. задачу 53039). Поэтому  CB₁ = CA₂.  Кроме того,  AB₁ = AC₁,  BA₂ = BC₂.  Значит,
∠B₁C₁C₂ = ∠A + ∠AB₁C₁ = 90° + ½ ∠A,  ∠B₁A₂C₂ = 180° – ∠B₁A₂C – ∠BA₂C₂ = 180° – (90° – ½ ∠C) – (90° – ½ ∠B) = ½ (∠B + ∠C).  Сумма этих углов равна 180°, то есть четырёхугольник A₂B₁C₁C₂ – вписанный. Следовательно, прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC’ пересекаются в радикальном центре трёх окружностей: описанной окружности четырёхугольника A₂B₁C₁C₂ и вписанных окружностей треугольников ACC’, BCC’ (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	10