Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Решите систему:
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа
x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
|
|
 |
Условие
Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
Решение
Оценка. По условию a1 + a2 + ... + a8 = 4/3. Пусть a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a8. Тогда a8 > 0, кроме того, a1 + a2 + ... + a7 > 0, поэтому a8 < 4/3. Следовательно,
a2 + a3 + ... + a7 < 6a8 < 6·4/3 = 8. Значит, a1 > –8.
Пример. Пусть a1 = –7, a2 = a2 = a3 = ... = a1 = 25/21. Тогда –7 + 7·25/21 = 7·4/21 = 4/3. При этом –7 + 6·25/21 = 50/7 – 7 > 0, то есть сумма каждых семи чисел положительна.
Ответ
–7.
