Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

   Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

Решение

Если в ряду есть две единицы подряд, вычеркнем их. При этом разность  M – N  не изменится: число "чётных" пар с одной единицей равно числу "нечётных" пар с другой; а на чётности пар, куда эти единицы не входят, это не повлияет. Также можно стереть и два нуля, стоящих подряд. Продолжая эти стирания, мы придём к ряду (возможно, пустому), где нули и единицы чередуются. Но у такого ряда  N = 0.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования