Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Из точки C, лежащей вне окружности с центром O, проведены два луча, пересекающие окружность: первый — в точках M и A, второй — в точках N и B. При этом точка N лежит между точками B и C. Углы MOA и NOB равны 120o. Перпендикуляр NL, опущенный из точки N на прямую AB, равен 12. Отрезок MN в 5 раз меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника MNC.
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1 : 3. Найдите острые углы треугольника.
Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (окна такие, что в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и перебирает неиспользованные стекла до тех пор, пока не найдет достаточно большое (то есть либо в точности подходящее, либо такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя. Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?
Через центр O описанной окружности остроугольного треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная BO и пересекающая отрезок AB в точке P и продолжение отрезка BC за точку C в точке Q. Найдите BP, если известно, что AB = c, BC = a и BQ = p.
Решить в целых числах уравнение x³ – 2y³ – 4z³ = 0.
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть гамильтонов путь).
Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)
Окружность с центром в точке O, лежит на гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов AB
и BC. Найдите AC, если известно, что
AM = ,
AN : MN = 6 : 1, где M — точка касания AB с окружностью,
а N — точка пересечения окружности с AC, расположенная
между точками A и O.
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?
Даны два параллелограмма ABCD и
A1B1C1D1, у которых O и O1 —
точки пересечения диагоналей. Докажите равенство
=
(
+
+
+
).
Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает k клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером a, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем a; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем a. При каком наименьшем k независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?
|
|
 |
Условие
Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает k клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером a, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем a; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем a. При каком наименьшем k независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?
Решение
Лемма. Для любых двух клеток A и B существует такая клетка C, закрасив которую, можно затем закрасить и A и B (возможно, C совпадает с A или с B).
Доказательство. Можно считать, что номер a клетки A меньше, чем номер b клетки B. Пусть D – клетка в одном столбце с A и в одной строке с B, и пусть d – её номер (возможно, D = A или D = B). Тогда, если d < a, то после закрашивания A можно последовательно закрасить D и B; если a ≤ d ≤ b, то после закрашивания D можно закрасить как A, так и B; наконец, если d > b, то после закрашивания B можно последовательно закрасить D и A. Итак, в качестве C можно выбрать одну из клеток A, B и D.
Перейдём к решению задачи. Достаточно доказать, что при k = 1 закраска всегда возможна.
Зафиксируем произвольную нумерацию клеток. Рассмотрим все способы закрашивания клеток согласно условию (при k = 1) и выберем из них тот, в котором количество закрашенных клеток максимально. Пусть в этом способе первая закрашенная клетка – A. Предположим, что при этом способе какая-то клетка B осталась незакрашенной. Тогда, выбрав по лемме соответствующую клетку C и начав закрашивание с неё, мы потом сможем закрасить B, A и, как следствие, все клетки, закрашенные в выбранном способе. Значит, всего мы закрасим хотя бы на одну клетку больше, что противоречит выбору способа.
Ответ
k = 1.
