Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?

   Решение

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?

Решение

  MN – средняя линия в треугольнике AKC, поэтому  ∠BAC = ∠NMC.  Кроме того,  ∠BAC = ∠BDC,  так как четырёхугольник ABCD – вписанный.
  Пусть точки M и N лежат с одной стороны от прямой BD. Тогда M лежит внутри треугольника BCD и, тем более, внутри треугольника BND, а значит, и внутри его описанной окружности. Но тогда точки B, N, D и M не могут лежать на одной окружности. Значит, N и M лежат по разные стороны от BD, и  ∠BDC = ∠BMN.
  Из параллельности MN и AK вытекает, что  ∠BMN = ∠ABM,  откуда  ∠BAC = ∠BDC = ∠ABM.  Отсюда получаем  AM = MB,  то есть в треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC. Следовательно,  ∠ABC = 90°,  а значит, и  ∠ADC = 90°.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования