ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64631
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Точка Лемуана ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Садыков Р.

Треугольник ABC вписан в окружность Ω с центром O. Окружность Ω1, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω2 треугольника OBC в точке S, отличной от O. Касательные к Ω в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.


Решение

Поскольку CP и BP – касательные к Ω,  ∠OBP = ∠OCP = 90°;  значит, точка P лежит на Ω2 и PO – диаметр этой окружности (см. рис.). Поэтому
OSP = 90°.  Поскольку AO – диаметр окружности Ω1,  ∠ASO = 90°.  Таким образом, точки A и P лежат на перпендикуляре к OS, проходящем через точку S.

Замечания

В задаче предложено новое описание симедианы треугольника ABC. То, что прямая AS в нашей задаче – симедиана, следует из того известного факта, что симедиана из вершины A проходит через точку P пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из остальных вершин треугольника (см. задачу 56982). Об этом и других свойствах симедианы можно прочитать, например, в главе VI книги Д. Ефремова "Новая геометрия треугольника".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .