Задача 64661

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Жуков Г.

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

Решение

  Пример.  x(x – 1)(x – 2)...(x – 19).
  Оценка. Пусть нашлись такие многочлен P(x) и 21 точка с абсциссами  x₁ < ... < x₂₁.  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. задачу 35562) число  |P(x₂₁) – P(x_i)| ≤ 10  делится на  x₂₁ – x_i ≥ 11  при всех i от 0 до 10. Отсюда  P(x₂₁) – P(x_i) = 0.
  Аналогично рассмотрев x_k и x₁, где  12 ≤ k ≤ 21,  получим в итоге, что  P(x_i) = P(x₂₁) = P(x₁) = P(x_k) = C.  Итак, мы знаем 20 корней многочлена  P(x) – C  степени 20. Значит,  P(x) – C = a(x – x₁)...(x – x₁₀)(x – x₁₂)...(x – x₂₁),  где a – старший коэффициент P(x). Тогда  |P(x₁₁) – C| ≥ 10∙9∙...∙1∙1∙...∙9∙10 > 10.  Это противоречит тому, что C и P(x₁₁) принадлежат отрезку  [0, 10].

Ответ

20 точек.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4