ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64661
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жуков Г.

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?


Решение

  Пример.  x(x – 1)(x – 2)...(x – 19).
  Оценка. Пусть нашлись такие многочлен P(x) и 21 точка с абсциссами  x1 < ... < x21.  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. задачу 35562) число  |P(x21) – P(xi)| ≤ 10  делится на  x21xi ≥ 11  при всех i от 0 до 10. Отсюда  P(x21) – P(xi) = 0.
  Аналогично рассмотрев xk и x1, где  12 ≤ k ≤ 21,  получим в итоге, что  P(xi) = P(x21) = P(x1) = P(xk) = C.  Итак, мы знаем 20 корней многочлена  P(x) – C  степени 20. Значит,  P(x) – C = a(x – x1)...(x – x10)(x – x12)...(xx21),  где a – старший коэффициент P(x). Тогда  |P(x11) – C| ≥ 10∙9∙...∙1∙1∙...∙9∙10 > 10.  Это противоречит тому, что C и P(x11) принадлежат отрезку  [0, 10].


Ответ

20 точек.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .