ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64664
Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Звонкин Д.

Многочлен P(x) удовлетворяет условиям:  P(0) = 1,  (P(x))² = 1 + x + x100Q(x),  где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x99 в многочлене  (P(x) + 1)100  равен нулю.


Решение

  Будем говорить, что два многочлена сравнимы по модулю x100, если у них совпадают коэффициенты при всех степенях от нулевой до 99-й. Так
(P(x))² ≡ 1 + x (mod x100).
  Сумма  (P(x) + 1)100 + (P(x) – 1)100  есть многочлен 50-й степени от (P(x))². Значит, она сравнима по модулю x100 с многочленом 50-й степени.
  В частности, коэффициент при x99 равен нулю. Это значит, что коэффициенты при x99 в многочленах  (P(x) + 1)100  и  (P(x) – 1)100  равны по модулю, но отличаются знаком.
  Но  P(x) – 1  делится на x. Следовательно,  (P(x) – 1)100  делится на x100, и коэффициент при x99 равен нулю.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 7
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 10
задача
Номер 6
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .