Задача 64664

Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Звонкин Д.

Многочлен P(x) удовлетворяет условиям:  P(0) = 1,  (P(x))² = 1 + x + x¹⁰⁰Q(x),  где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x⁹⁹ в многочлене  (P(x) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

Решение

  Будем говорить, что два многочлена сравнимы по модулю x¹⁰⁰, если у них совпадают коэффициенты при всех степенях от нулевой до 99-й. Так
(P(x))² ≡ 1 + x (mod x¹⁰⁰).
  Сумма  (P(x) + 1)¹⁰⁰ + (P(x) – 1)¹⁰⁰  есть многочлен 50-й степени от (P(x))². Значит, она сравнима по модулю x¹⁰⁰ с многочленом 50-й степени.
  В частности, коэффициент при x⁹⁹ равен нулю. Это значит, что коэффициенты при x⁹⁹ в многочленах  (P(x) + 1)¹⁰⁰  и  (P(x) – 1)¹⁰⁰  равны по модулю, но отличаются знаком.
  Но  P(x) – 1  делится на x. Следовательно,  (P(x) – 1)¹⁰⁰  делится на x¹⁰⁰, и коэффициент при x⁹⁹ равен нулю.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	7
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	10
задача
Номер	6
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	11
задача
Номер	5