|
|
 |
Условие
В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?
Решение
Пусть ABCD – данная трапеция c меньшей боковой стороной АВ, тогда биссектриса её острого угла D проходит через центр О окружности, вписанной в трапецию, и пересекает сторону АВ в точке Е (см. рис.). Заметим, что сумма углов OCD и ODC равна 90°, то есть CO ⊥ DO.
Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами АВ, ВС, CD и DA через K, L, M и N соответственно (см. рис.). Поскольку∠KOE = ∠ADE < 45° и BKOL – квадрат, точка Е лежит на отрезке BK. Далее можно рассуждать по-разному. Первый способ. Трегольники OND и OMD равны по катету и гипотенузе; аналогично, равны треугольники OLC и OMC. Кроме того, треугольники OKE и OLC равны по катету и острому углу.
Таким образом, SADE = SOND + SAKON + SOKE = SOMD + SBKOL + SOMC = SOMD + SBEOL + SOLC + SOMC = SCDEB, то есть биссектриса DE делит площадь трапеции пополам.
Второй способ. Пусть биссектриса угла BCD пересекает прямую AD в точке F (см. рис.). DO – высота треугольника CDF, значит, этот треугольник – равнобедренный: FD = CD. Так как AD > CD, то точка F лежит на стороне AD.
Рассмотрим поворот с центром О на 90° по часовой стрелке. Так как AKON и BKOL – равные квадраты, то образом точки А при таком повороте является точка В. Образом луча OF является луч ОЕ, а образом прямой DA – прямая АВ, поэтому точка F при этом повороте переходит в точку Е. Кроме того, образом прямой АВ является прямая ВС, поэтому точка Е переходит в точку С. Таким образом, четырёхугольник ОЕВС является образом четырёхугольника OFAE, следовательно, эти четырёхугольники равны.
Ответ
1 : 1.
