|
|
 |
Условие
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?
Решение
Предположим противное. Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, H – совпадающий ортоцентр треугольников ABC и A'B'C'.
Первый способ. Пусть A'', B'', C'' – вторые точки пересечения прямых A'H, B'H, C'H со вписанной окружностью ω. Тогда
∠A''C''C' = ∠A''A'C' = 90° – ∠A'C'B' = ∠B''B'C' = ∠B''C''C'; это значит, что хорда A''B'' параллельна касательной к ω в точке C', то есть A''B'' || AB. Поэтому стороны треугольников ABC и A''B''C'' параллельны друг другу, а H – центр вписанной окружности треугольника A''B''C''. Следовательно, существует гомотетия, переводящая треугольник ABC в A''B''C''. При этой гомотетии центр описанной окружности O переходит в I, а точка пересечения биссектрис I – в H. Таким образом, точка H лежит на прямой OI, причем OI : IH = R : r.
Какие-то две вершины треугольника ABC (например, A и B) не лежат на прямой OI. Так как AI, BI – биссектрисы углов OAH, OBH соответственно, то OI : IH = AO : AH = BO : BH. Следовательно, AH = BH = r, что невозможно, ибо AH + BH ≥ AB > 2r. Противоречие.
Второй способ. Отрезки IC' и HC перпендикулярны AB и, следовательно, параллельны. Отрезки CI и C'H перпендикулярны A'B', и следовательно, тоже параллельны. Значит, либо точки C, I, C', H лежат на одной прямой (и тогда AC = BC), либо четырёхугольник CIC'H – параллелограмм. Аналогичное утверждение верно для остальных вершин. У треугольника ABC найдётся сторона (скажем, AB), не равная ни одной другой его стороне. Тогда четырёхугольники AIA'H и BIB'H – параллелограммы, и AH = A'I = r = B'I = BH, что, как показано выше, невозможно.
Ответ
Верно.
