ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64751
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ равна какой-то стороне?


Решение

  На рисунке изображен пятиугольник ABCDE, у которого диагонали AC, AD, BE и CE равны стороне AE, а диагональ BD равна сторонам AB и DE. Покажем, как он может быть получен.

  Точка C является вершиной равностороннего треугольника ACE, а ABDE – равнобедренная трапеция, у которой  ∠A = ∠E = 72°,  а диагонали AD и BE равны стороне AE.

  Действительно,  ∠ADE = ∠AED = 72°,  ∠DAE = 180° – 72° – 72° = 36°,  ∠BDA = ∠DAE = 36°  и ∠BAG = 72° – 36° = 36°,  то есть  AB = BD = DE.


Ответ

Существует.

Замечания

Отметим, что A, B, D и E – четыре последовательных вершины правильного пятиугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .