Задача 64751

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ равна какой-то стороне?

Решение

  На рисунке изображен пятиугольник ABCDE, у которого диагонали AC, AD, BE и CE равны стороне AE, а диагональ BD равна сторонам AB и DE. Покажем, как он может быть получен.

  Точка C является вершиной равностороннего треугольника ACE, а ABDE – равнобедренная трапеция, у которой  ∠A = ∠E = 72°,  а диагонали AD и BE равны стороне AE.

  Действительно,  ∠ADE = ∠AED = 72°,  ∠DAE = 180° – 72° – 72° = 36°,  ∠BDA = ∠DAE = 36°  и ∠BAG = 72° – 36° = 36°,  то есть  AB = BD = DE.

Ответ

Существует.

Замечания

Отметим, что A, B, D и E – четыре последовательных вершины правильного пятиугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	12 (2014 год)
Дата	2014-04-12
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	3