|
|
 |
Условие
Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках A1, B1 соответственно. Точки A2 и B2 симметричны точкам A1 и B1 относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки A, B, A2 и B2 лежат на одной окружности.
Решение 1
По условию AA1 = CA2 и BB1 = CB2. Пусть D1 – вторая точка пересечения ω с AD (рис. слева). Из симметрии AD = BC и AD1 = BB1. Значит,
CA2·CA = AA1·AC = AD1·AD = BB1·BC = CB2·CB, что и требовалось.
Решение 2
Обозначим через O1 и O центры окружностей ω и Ω соответственно; оба этих центра лежат на серединном перпендикуляре l к основаниям трапеции. Пусть O2 – точка, симметричная O1 относительно O (рис. справа). Тогда O2 также лежит на l, то есть O2A = O2B. Проекции точек O2 и O1 на BC симметричны относительно проекции точки O, то есть относительно середины B' отрезка BC. Так как проекция точки O1 является серединой отрезка CB1, из симметрии следует, что проекция точки O2 – середина отрезка BB2. Значит, B2O2 = BO2. Аналогично A2O2 = AO2 = BO2 = B2O2. Итак, точки A, B, A2, B2 лежат на окружности с центром O2.
