ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64766
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках A1, B1 соответственно. Точки A2 и B2 симметричны точкам A1 и B1 относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки A, B, A2 и B2 лежат на одной окружности.


Решение 1

По условию  AA1 = CA2  и  BB1 = CB2.  Пусть D1 – вторая точка пересечения ω с AD (рис. слева). Из симметрии  AD = BC  и  AD1 = BB1.  Значит,
CA2·CA = AA1·AC = AD1·AD = BB1·BC = CB2·CB,  что и требовалось.


Решение 2

Обозначим через O1 и O центры окружностей ω и Ω соответственно; оба этих центра лежат на серединном перпендикуляре l к основаниям трапеции. Пусть O2 – точка, симметричная O1 относительно O (рис. справа). Тогда O2 также лежит на l, то есть  O2A = O2B.  Проекции точек O2 и O1 на BC симметричны относительно проекции точки O, то есть относительно середины B' отрезка BC. Так как проекция точки O1 является серединой отрезка CB1, из симметрии следует, что проекция точки O2 – середина отрезка BB2. Значит,  B2O2 = BO2.  Аналогично  A2O2 = AO2 = BO2 = B2O2.  Итак, точки A, B, A2, B2 лежат на окружности с центром O2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .