ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64808
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  ∠B = 60°,  O – центр описанной окружности, BL – биссектриса. Описанная окружность треугольника BOL пересекает описанную окружность треугольника ABC вторично в точке D. Докажите, что  BDAC.


Решение

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Точка D', симметричная H относительно AC лежит на описанной окружности (см. задачу 55463), а так как
B = 60°,  то  BO = BH  (это следует из того, что треугольник, образованный вершиной B и основаниями высот, опущенных из вершин A и C, подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½). Заметим, что луч BL – биссектриса угла OBH, поэтому  LO = LH = LD'.  Из симметрии относительно BL также следует, что  ∠BOL = ∠BHL,  а из симметрии относительно AC, что  ∠BD'L = ∠LHD' = 180° – ∠BHL.  Следовательно, четырёхугольник BOLD' – вписанный и D' совпадает с D.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .