Задача 55463

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

Подсказка

Пусть H₁ – точка пересечения продолжения высоты AA₁ треугольника ABC с описанной окружностью. Докажите, что треугольник HBH₁ – равнобедренный.

Решение

   Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.
   Пусть ABC – остроугольный треугольник, H – точка пересечения его высот, H₁ – точка пересечения продолжения отрезка AH за точку H с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда  ∠BH₁H = ∠BH₁A = ∠ACB = ∠BHH₁  (стороны последних двух углов взаимно перпендикулярны).
   Поэтому треугольник HBH₁ – равнобедренный. Следовательно, перпендикуляр BC к его стороне HH₁ проходит через середину отрезка HH₁, то есть точка H₁ симметрична точке H относительно прямой BC.

   Аналогично проводится доказательство для тупоугольного треугольника.

Замечания

См. также задачу 55597. Ср. с задачей 78187.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4785