ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55463
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.


Подсказка

Пусть H1 – точка пересечения продолжения высоты AA1 треугольника ABC с описанной окружностью. Докажите, что треугольник HBH1 – равнобедренный.


Решение

   Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.
   Пусть ABC – остроугольный треугольник, H – точка пересечения его высот, H1 – точка пересечения продолжения отрезка AH за точку H с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда  ∠BH1H = ∠BH1A = ∠ACB = ∠BHH1  (стороны последних двух углов взаимно перпендикулярны).
   Поэтому треугольник HBH1 – равнобедренный. Следовательно, перпендикуляр BC к его стороне HH1 проходит через середину отрезка HH1, то есть точка H1 симметрична точке H относительно прямой BC.

   Аналогично проводится доказательство для тупоугольного треугольника.

Замечания

См. также задачу 55597. Ср. с задачей 78187.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4785

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .