Задача 55597

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой.

Подсказка

Докажите, что точка, симметричная ортоцентру треугольника, лежит на его описанной окружности. (Или примените теорему синусов.)

Решение 1

Пусть H₁ – точка, симметричная точке H относительно прямой BC. Тогда  ∠BH₁C = ∠BHC = 180° – ∠A.  Поэтому точка H₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, описанная окружность треугольника BHC симметрична описанной окружности треугольника ABC относительно прямой BC. Остальное аналогично.

Решение 2

Пусть R и R₁ – радиусы описанных окружностей треугольников ABC и BHC соответственно. Тогда

Остальное аналогично.

Замечания

1. См. также задачу 55463.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5046
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	2