|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A = ∠В = 60° и ∠СAВ = ∠CBD. Докажите, что AD + CB = AB.
Решение
Продлим стороны AD и ВС до их пересечения в некоторой точке Е, тогда треугольник АВЕ – равносторонний (см. рис.). Докажем, что ВС = ED. Это можно сделать различными способами.
Первый способ. В треугольниках АВС и ВЕD: АВ = ВЕ; ∠СAВ = ∠DВЕ, ∠AВC = 60° = ∠ВЕD. Таким образом, эти треугольники равны по второму признаку. Следовательно, ВС = ED.
Второй способ. Пусть О – центр треугольника АВЕ. При повороте с центром О на угол 120° образами вершин А и В являются вершины В и Е соответственно, тогда образом луча АС – луч BD (из равенства ∠СAВ = ∠CBD). Так как образом стороны ВЕ при этом повороте является сторона ЕА, то образом точки С является точка D. Следовательно, ВС = ED.
Таким образом, AD + CB = AD + ED = АЕ = AB.
