|
|
 |
Условие
Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть M и N – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.
Решение
Достаточно доказать, что середина K отрезка MN равноудалена от катетов AC и BC треугольника ABC.
Первый способ. Пусть общая касательная к двум окружностям, проведённая через точку K, пересекает прямые AC и BC, в точках P и Q соответственно (рис. слева). Прямоугольные треугольники AKP и QKB очевидно подобны, а так как их вписанные окружности равны, то и эти треугольники равны. Значит, равны и их высоты, опущенные из общей вершины K, то есть расстояния от K до прямых AC и BC.
Второй способ. Проведём через центры O1 и O2 окружностей прямые, параллельные ближайшим катетам, до пересечения в точке L (рис. справа). Углы O1LO2 и O1KO2 прямые, значит, четырёхугольник O1LO2K вписанный. Поэтому углы O1LK и O2LK равны как опирающиеся на равные хорды. Следовательно, LK – биссектриса угла O1LO2, то есть точка K равноудалена от прямых O1L и O2L, а значит, и от прямых AC и BC (расстояние между прямыми O1L и AC, как и расстояние между прямыми O2L и BC, равно радиусу исходных окружностей).
Третий способ. Точка K равноудалена от окружностей, а значит, существует поворот с центром в точке K, переводящий первую окружность (касающуюся катета AC) во вторую (касающуюся катета BC). Очевидно, это поворот на 90°. При этом повороте прямая AC переходит в перпендикулярную ей прямую, касающуюся второй окружности, то есть в прямую BC. Значит, эти две прямые равноудалены от центра поворота K.
Замечания
8 баллов
