Задача 64860

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Garsia E.H.

Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A₁, а биссектрису угла B вторично в точке A₂. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B₁, а биссектрису угла A вторично в точке B₂. Докажите, что прямые AB, A₁B₁, A₂B₂ пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть I – центр вписанной окружности ω, а J – её точка, диаметрально противоположная C' (см. рис.). Поскольку углы AB₁C', C'B₁J, BA₁C', C'A₁J – прямые, точки A₁ и B₁ – это точки пересечения AJ и BJ с ω. Точки же A₂ и B₂ – это основания перпендикуляров, опущенных из C' на прямые BI и AI соответственно.

  Теперь из прямоугольных треугольников AC'I, BC'I, AC'J и BC'J с высотами C'B₂, C'A₂, C'B₁ и C'A₁ имеем  
  Согласно теореме Менелая, применённой к треугольникам AIB и AJB, это означает, что прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекают AB в одной точке (или обе параллельны ей).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6