|
|
 |
Условие
В неравнобедренном треугольнике ABC высота из вершины A, биссектриса из вершины B и медиана из вершины C пересекаются в одной точке K.
а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?
б) Какой из отрезков AK, BK, CK средний по величине?
Решение
а) В неравнобедренном треугольнике биссектриса проходит между медианой и высотой, а высота – между биссектрисой и меньшей из прилежащих сторон. Предположим, что AB < AC. Тогда биссектриса угла A пересекает биссектрису угла B в точке, лежащей между K и AC. Через эту точку проходит и биссектриса угла C. Так как она лежит между медианой и меньшей из прилежащих сторон, то AC < BC. Значит, AC – средняя по величине из сторон треугольника.
Пусть теперь AB > AC. Рассуждая аналогично снова получим, что сторона AC – средняя по величине.
б) Так как высота из вершины A проходит внутри треугольника, то углы B и C – острые. По теореме синусов стороны треугольника относятся как
sin A : sin B : sin C. По теореме Чевы откуда sin A cos B = sin B cos C Поскольку
sin A = sin(B + C) = sin B cos C + sin C cos B, то после несложных преобразований получаем Поэтому если
∠B < 60°, то ∠C < ∠B < 60° < ∠A, а если ∠B > 60°, то ∠C > ∠B > 60° > ∠A.
В первом случае ∠KBA < 30° < KAB и ∠KCB < ½ ∠C < ½ B = ∠KBC, следовательно, KA < KB < KC. Аналогично во втором случае KA > KB > KC.
Ответ
а) AC, б) BK.
