|
|
 |
Условие
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.
Решение
Заметим, что прямая EF является серединным перпендикуляром к BD. Поэтому точки K, L ее пересечения с AB и BC являются вершинами квадрата BKDL. Используя параллельные прямые BC и KD, разделим отрезок BC пополам (см. задачу 53775). Используя параллельные прямые AB и DL, построим параллельную им прямую, проходящую через середину BC (см. задачу 53776). Эта прямая является серединным перпендикуляром к BC и, значит, пересекает EF в центре описанной окружности треугольника BCD. Аналогично строится центр описанной окружности треугольника ABD.
