ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64898
Темы:    [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В тетраэдре АВСDАВ = 8,  ВС = 10,  АС = 12,  BD = 15.  Известно, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противолежащие грани, пересекаются в одной точке. Найдите длины рёбер DA и DC.


Решение

  Пусть отрезки DO1 и АО2, где O1 и О2 – центры вписанных окружностей треугольников ABC и DВС пересекаются в точке N (см. рис.). Тогда точки А, D, O1 и О2 лежат в одной плоскости, поэтому прямые АO1 и 2 пересекают ребро ВС в одной и той же точке L. Так как AL и DL – биссектрисы треугольников ABC и DВС, то  AB : AC = BL : CL = DB : DC.  Следовательно,  DC·AB = DВ·AC,  откуда  DC = 15·12 : 8 = 22,5.

 Заменив АО2 на 3, где О3 – центр вписанной окружности грани ABD, аналогично получим  DВ·AC = DA·BC,  откуда  DA = 15·12 : 10 = 18.


Ответ

DA = 18,  DC = 22,5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .