|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Решение
а) Так как PC – диаметр описанной окружности треугольника PA'B', угол PC1C – прямой, то есть точка C1 лежит на высоте треугольника ABC. Аналогично точки A1, B1 лежат на двух других высотах. Поэтому прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в ортоцентре H.
б) Точки A1, B1, C1 лежат на окружности с диаметром PH, поскольку углы PA1H, PB1H, PC1H – прямые. Следовательно, угол между прямыми A1C1 и B1C1 равен углу между прямыми HA1 и HB1, который как угол между высотами треугольника ABC равен углу между его сторонами AC и BC. Таким образом, углы треугольников ABC и A1B1C1 равны, то есть эти треугольники подобны.
