Задача 64916

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что  AE : ED = S_ABO : S_CDO.

Решение

Пусть P – точка пересечения AB и MO. Применяя теорему Менелая к треугольникам ABD и ABC, получаем   .  Следовательно,  

Замечания

Если  AB || MO,  то равенство остается верным, если положить  ^AP/_PE = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	14