ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64962
Темы:    [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли тетраэдр ABCD, в котором  AB = AC = AD = BC,  а суммы плоских углов при каждой из вершин В и С равны по 150°?


Решение

  Предположим, что такой тетраэдр существует. Тогда его грани DАВ и DAC – равнобедренные треугольники с вершиной А. Пусть
ADB = ∠ABD = α,  ∠DBC = β,  ∠DCB = γ,  ∠ADC = ∠ACD = δ,  тогда  ∠BDC = 180° – β – γ (см. рис.).

  Так как треугольник АВС – равносторонний, то  α + β = γ + δ = 90°,  значит,  α + β + γ + δ = 180°.  Тогда   ∠BDC = 180° – β – γ = α + δ,  то есть
BDC = ∠BDA + ∠CDA.  Это противоречит тому, что в любом трёхгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего.


Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2014
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .