Задача 64962

Темы:    [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Существует ли тетраэдр ABCD, в котором  AB = AC = AD = BC,  а суммы плоских углов при каждой из вершин В и С равны по 150°?

Решение

  Предположим, что такой тетраэдр существует. Тогда его грани DАВ и DAC – равнобедренные треугольники с вершиной А. Пусть
∠ADB = ∠ABD = α,  ∠DBC = β,  ∠DCB = γ,  ∠ADC = ∠ACD = δ,  тогда  ∠BDC = 180° – β – γ (см. рис.).

  Так как треугольник АВС – равносторонний, то  α + β = γ + δ = 90°,  значит,  α + β + γ + δ = 180°.  Тогда   ∠BDC = 180° – β – γ = α + δ,  то есть
∠BDC = ∠BDA + ∠CDA.  Это противоречит тому, что в любом трёхгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3