Задача 64963

Темы:    [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

При каких значениях x и y верно равенство  x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

Решение

  Первый способ. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
0 = 2x² + 2(1 – y)² + 2(x – y)² – ²/₃ = 4x² + 4y² – 4xy – 4y + ⁴/₃ = (2x – y)² + 3(y – ²/₃)².  Отсюда  2x = y = ²/₃.

  Второй способ. Согласно неравенству Коши-Буняковского (см. задачу 61402 а) Но левая часть тоже равна 1, а неравенство превращается в равенство, когда векторы  (1, 1, 1)  и  (x, 1 – y, y – x)  пропорциональны, то есть когда  x = 1 – y = y – x  ⇔  2x = y,  3x = 1.

Ответ

При  x = ¹/₃,  y = ²/₃.

Замечания

Вместо неравенства Коши-Буняковского можно воспользоваться неравенством Коши.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	11
задача
Номер	11.4