|
|
 |
Условие
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.
Решение
Закрасим меньшие из дуг, стягиваемых проведёнными хордами. Если сдвинуть закрашенные дуги так, чтобы соответствующие хорды образовали ломаную, то расстояние между концами этой ломаной будет меньше 1, а, поскольку хорда длины 1 стягивает дугу, равную 1/6 круга, то сумма закрашенных дуг будет меньше, чем 1/6 круга.
Теперь впишем в окружность правильный шестиугольник и отметим одну из его вершин. Будем вращать этот шестиугольник и каждый раз, когда отмеченная вершина попадает в закрашенную точку, закрашивать точки, в которые попадут остальные вершины. Тогда общая длина закрашенных дуг увеличится не более, чем в 6 раз, следовательно, найдётся положение шестиугольника, при котором все его вершины попадут в незакрашенные точки. Очевидно, в этом положении стороны шестиугольника не будут пересекать проведённых хорд.
