ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64974
Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A1 и B1, в точке D. Отрезки AD и BB1 пересекаются в точке M, BD и AA1 – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B1DM и A1DN касаются.


Решение

Угол между касательной к описанной окружности треугольника B1DM в точке D и прямой AD равен  ∠MB1D = ∠BB1D = ∠BAD  (см. рис.). Аналогично угол между касательной к описанной окружности треугольника A1DN и BD равен углу ABD. Поскольку  ∠BAD + ∠ABD = 90° = ∠ADB,  касательные к обеим окружностям совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .