Задача 64976

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Карлюченко А.

Восстановите равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  по точкам I, M, H пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

Решение

  Центр O описанной окружности треугольника лежит на продолжении HM за точку M, и  MO = ½ HM.  Кроме того, прямые BI, CI являются биссектрисами углов OBH, OCH  (∠CBH = ∠ABO = ^π/₂ – ∠C).  Следовательно,  BO : BH = CO : CH = IO : IH,  то есть точки B, C лежат на окружности Аполлония точек O и H, проходящей через I. Но центр окружности BIC лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 53119). Таким образом, получаем следующее построение.
  Построим точку O и указанную окружность Аполлония. Затем построим окружность с центром O, проходящую через центр этой окружности. Две окружности пересекутся в точках B, C, а прямая OH вторично пересечёт описанную окружность в точке A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3