|
|
 |
Условие
В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.
Решение 1
Пусть одна сторона угла касается ω и Ω в точках X1, Y1, а другая – в точках X2, Y2; U, V – точки пересечения X1X2 и Y1Y2 с AF. Середина отрезка CD лежит на радикальной оси окружностей, то есть на средней линии трапеции X1Y1Y2X2, поэтому BU = EV и CU = DV (см. рис.). Следовательно, X1U·X2U = Y1V·Y2V. Отсюда FY2 : FX2 = Y2V : X2U = X1U : Y1V = AX1 : AY1, то есть AX1 = FY2. Теперь утверждение задачи вытекает из равенств AB·AC = X1A² + Y2F² = FE·FD.
Решение 2
Зафиксируем точку A на стороне угла и покажем, что через нее проходит ровно одна прямая, удовлетворяющая условиям задачи. Действительно, середина K отрезка CD равноудалена от проекций центров окружностей на искомую прямую и, значит, совпадает с проекцией середины L отрезка между центрами. Следовательно, K – точка пересечения окружности с диаметром AL и радикальной оси окружностей ω и Ω, отличная от середины отрезка X1Y1. С другой стороны, если взять точку F так, что AX1 = Y2F, то AB·AC = FE·FD и AD·AE = FC·FB, откуда следует, что прямая AF – искомая.
