Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

   Решение

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

Решение

  Если угол B прямой, то условие не имеет смысла.
  Пусть угол B – острый. Из условия следует, что  ∠AHC₁ = ∠ABH.  Значит,  ∠C₁HB' = ∠AHB' – ∠ABH = ∠HAB = 90° – ∠B  (B' – основание высоты BB'). Аналогично  ∠B'HA₁ = 90° – ∠B,  то есть треугольник A₁HC₁ – равнобедренный.
  Случай тупого угла B рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования