Задача 65047

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Ясинский В.

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Решение

Прямые PM и QN пересекаются в центре окружности O. Поэтому утверждение задачи следует из теоремы Дезарга, применённой к треугольникам PML и NQK.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	21