Задача 65048
|
|
 |
Условие
Из вершины C треугольника ABC проведены касательные CX, CY к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые XY, AB и касательная в точке C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке.
Решение
При гомотетии с центром C и коэффициентом ½ прямая XY перейдёт в радикальную ось точки C и окружности, проходящей через середины A', B', C' сторон BC, CA, AB. С другой стороны, касательная в точке C к описанной окружности касается также описанной окружности треугольника A'B'C, то есть является радикальной осью этой окружности и точки C. Следовательно, точка пересечения этих радикальных осей лежит на прямой A'B'. Сделав обратную гомотетию, получим утверждение задачи.
