ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65111
Темы:    [ Математическая логика (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого k из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем k это могло случиться?


Решение

  Пусть A и B – люди, которым достались карточки с самым большим и самым маленьким числами, соответственно. Поскольку они оба сказали первую фразу, A – рыцарь, а B – лжец. Поэтому ни один из них не мог произнести вторую фразу. Следовательно,  k ≤ 2013.
  Ситуация, когда оставшиеся 2013 человек смогут сказать вторую фразу, возможна. Пусть сидящим за столом достались (по часовой стрелке) карточки с числами 1, 2, 3, ..., 2015; при этом карточка с числом 2015 досталась рыцарю, а остальные – лжецам. Тогда первую фразу могут сказать все, а вторую – все, кроме людей с карточками 1 и 2015.


Ответ

При  k = 2013.

Замечания

Существуют и другие примеры распределения карточек, при которых 2013 человек могут сказать вторую фразу.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .