Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.
РешениеВ стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трём авиакомпаниям. Известно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из каждого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?
РешениеНайдите наименьшее значение функции y = 3x2-10x+4ln x+11 на отрезке [
Решение
|
|
 |
Условие
По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное N, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.
Решение
Оценка. Два нечётных числа не могут стоять рядом, так как они не делятся на свою чётную разность. Поэтому чётных чисел не меньше половины, то есть хотя бы 1008. Так как их больше половины, то какие-то два чётных числа стоят рядом. Из этой пары чётных чисел хотя бы одно кратно 4, иначе их разность кратна 4, а сами они – нет.
Предположим, у нас нет чисел, кратных 3. Тогда, из-за нечётности количества чисел, какие-то два соседних числа дают одинаковые остатки при делении на 3. Эти числа делятся на свою разность, которая кратна 3. Противоречие.
Следовательно, N ≥ 3·21009.
Пример. Числа 4, 3, 2, 1, 2, 1, ..., 2, 1, 2 удовлетворяют условию. Их произведение равно 3·21009.
Ответ
N = 3·21009.
Замечания
1. Пример единственный.
2. 5 баллов.
