Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66799
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На сторонах AB и BC взяты точки M и N так, что MNAC. Точки M и N симметричны соответственно точкам M и N относительно сторон BC и AB соответственно. Пусть MA пересекает BC в точке X, а NC пересекает AB в точке Y. Докажите, что точки A, C, X, Y лежат на одной окружности.

Решение

Пусть A, C – точки, симметричные A и C относительно прямых BC и AB соответственно, а AA1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Применив теорему Менелая к треугольнику ABA1 и прямой AXM, получим BXXA1=2BMMA=2BMMA. Аналогично BYYC1=2BNNC. Так как MNAC, то BMMA=BNNC, т.е. BXXA1=BYYC1 и XYA1C1, откуда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
класс
Класс 8
задача
Номер 8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .