Задача 66799

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Рябов П., Рябова Т.

Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.

Решение

Пусть $A'$, $C'$ – точки, симметричные $A$ и $C$ относительно прямых $BC$ и $AB$ соответственно, а $AA_1$ и $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$. Применив теорему Менелая к треугольнику $A'BA_1$ и прямой $AXM'$, получим $\frac{BX}{XA_1} = 2 \cdot \frac{BM'}{M'A'} = 2 \cdot \frac{BM}{MA}$. Аналогично $\frac{BY}{YC_1} = 2 \cdot \frac{BN}{NC}$. Так как $MN \parallel AC$, то $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$, т.е. $\frac{BX}{XA_1} = \frac{BY}{YC_1}$ и $XY \parallel A_1C_1$, откуда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	8
задача
Номер	8.7