Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn, где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что λ1 + λ2 + ... + λn = 1.
В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?
Докажите, что cтепень точки w относительно окружности Azz + Bz – B z + C = 0 равна
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Перпендикуляры, опущенные из точек
A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной
точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1,
C1 на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке
(Штейнер).
В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.
У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA'B'C'D' АВ = ВС = а, AA' = b. Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD. Найдите наибольшее значение площади проекции.
|
|
 |
Условие
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA'B'C'D' АВ = ВС = а, AA' = b. Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD. Найдите наибольшее значение площади проекции.
Решение
Пусть плоскость проекции α расположена так, как показано на рисунке. Тогда проекция параллелепипеда совпадает с проекцией его диагонального сечения АВС'D'. Так как площадь ортогональной проекции многоугольника не превосходит площади многоугольника, то площадь проекции будет наибольшей, если α параллельна этому сечению. В этом случае Sпр = SABC'D' = AB·AD' = .
Если плоскость α содержит внутренние точки параллелепипеда, то его проекция совпадает с проекцией диагонального сечения A'B'CD. Так как площади диагональных сечений равны, то ответ не изменится.
Ответ
.
