ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65196
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Решение 1

  Назовём хорошим многочлен, у которого все коэффициенты равны 0 или 1. Заметим, что произведение хорошего многочлена степени n на многочлен  xm + 1,  где  m > n,  снова является хорошим многочленом. Начав с многочлена  x + 1  и домножив его таким образом на 2019 многочленов вида  xm + 1  с нечётными m, мы получим хороший многочлен f(x), делящийся на многочлен  (x + 1)2020.  Итак,
f(x) = (x2020 + 2020x2019 + ... + 1)(xk + axk–1 + ... + 1).  Второй коэффициент многочлена f(x) равен  2020 + a,  и он не больше 1, поэтому  a ≤ –2019.


Решение 2

  Рассмотрим многочлен 18-й степени  h(x) = (x + 1)4(x2 + x + 1)(x4 + ... + 1)(x8 + ... + 1)  и многочлен  g(x) = h(x)(x18 + ... + 1).  Легко видеть, что коэффициент при x18 многочлена g(x) равен сумме коэффициентов многочлена h(x), то есть  h(1) = 24∙3∙5∙9 = 2160 > 2015.
  Произведение  g(x)g(– x) = (1 – x6)(1 – x10)(1 – x18)(1 – x38)  по тем же соображениям, что и в решении 1, будет иметь коэффициенты, по модулю не превышающие единицы.


Ответ

Существуют.

Замечания

1. Решение 2 даёт всего лишь 36-ю степень множителей, в то время как в решении 1 степень одного множителя равна 2020, а второго – гораздо больше.

2. 10 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 9
задача
Номер 6
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 10
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .