Задача 65196

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Решение 1

  Назовём хорошим многочлен, у которого все коэффициенты равны 0 или 1. Заметим, что произведение хорошего многочлена степени n на многочлен  x^m + 1,  где  m > n,  снова является хорошим многочленом. Начав с многочлена  x + 1  и домножив его таким образом на 2019 многочленов вида  x^m + 1  с нечётными m, мы получим хороший многочлен f(x), делящийся на многочлен  (x + 1)²⁰²⁰.  Итак,
f(x) = (x²⁰²⁰ + 2020x²⁰¹⁹ + ... + 1)(x^k + ax^k–1 + ... + 1).  Второй коэффициент многочлена f(x) равен  2020 + a,  и он не больше 1, поэтому  a ≤ –2019.

Решение 2

  Рассмотрим многочлен 18-й степени  h(x) = (x + 1)⁴(x² + x + 1)(x⁴ + ... + 1)(x⁸ + ... + 1)  и многочлен  g(x) = h(x)(x¹⁸ + ... + 1).  Легко видеть, что коэффициент при x¹⁸ многочлена g(x) равен сумме коэффициентов многочлена h(x), то есть  h(1) = 2⁴∙3∙5∙9 = 2160 > 2015.
  Произведение  g(x)g(– x) = (1 – x⁶)(1 – x¹⁰)(1 – x¹⁸)(1 – x³⁸)  по тем же соображениям, что и в решении 1, будет иметь коэффициенты, по модулю не превышающие единицы.

Ответ

Существуют.

Замечания

1. Решение 2 даёт всего лишь 36-ю степень множителей, в то время как в решении 1 степень одного множителя равна 2020, а второго – гораздо больше.

2. 10 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	9
задача
Номер	6
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	10
задача
Номер	6