|
|
 |
Условие
В турнире по футболу участвует 2n команд (n > 1). В каждом туре команды разбиваются на n пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели 2n – 1 тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.
Решение
Если добавление нового числа к набору чисел не меняет среднего арифметического, то новое число равно среднему арифметическому.
Таким образом, если команда проиграла в последнем туре, то её срелний результат в туре равен 0, то есть она проиграла все партии (такая команда может быть только одна). Если такая есть, то выигравшая у неё в последнем туре команда имеет средний результат 3, то есть она выиграла все партии. Остальные команды в последнем туре сыграли вничью, то есть каждая из них в турнире набрала 2n – 1 очко.
Таким образом, возможны два варианта: либо все 2n команд набрали по 2n – 1 очку, либо есть одна команда, которая выиграла у всех, одна команда, которая всем проиграла, а также 2n – 2 команды, которые набрали по 2n – 1 очку.
Заметим, что суммарное количество набранных очков равняется 2n(2n – 1) + r, где r – количество результативных партий в турнире. В первом случае 2n(2n – 1) + r = 2n(2n – 1), то есть r = 0, что и требовалось.
Во втором случае 2n(2n – 1) + r = (2n – 2)(2n – 1) + 3n, откуда r = 2 – n ≤ 0 , что невозможно.
