|
|
 |
Условие
На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Пусть точка P лежит на стороне AB, а точка Q – на стороне BC.
Первый способ. Поскольку PBQX – параллелограмм, BP = QX и ∠QXC = ∠A = ∠C, QX = QC = QY. Значит, точки X, C и Y лежат на окружности с центром Q, поэтому ∠CYX = ½ ∠CQX = ½ ∠B. Аналогично ∠AYX = ½ ∠B. Отсюда ∠CYA = ∠B и, следовательно, точки A, B, C и Y лежат на одной окружности.
Второй способ. PX || BQ, поэтому ∠A = ∠C = ∠PXA = α. Значит, треугольник APX равнобедренный: PA = PX = PY. Следовательно, треугольник APY также равнобедренный, поэтому ∠YAP = ∠AYP = β.
Треугольники YPQ и BQP равны из симметрии. Значит, точки B и Y находятся в одной полуплоскости от прямой PQ на одинаковом расстоянии, поэтому BY || PQ. Следовательно, BQPY – равнобедренная трапеция, а углы при её основании BY равны: ∠QBY = ∠PYB = γ.
Наконец, в четырёхугольнике AYBC ∠ACB
+ ∠AYB = α + β + γ = ∠CAY + ∠CBY, то есть суммы противоположных углов равны.Таким образом, этот четырёхугольник вписанный.
Третий способ. Пусть O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC, M – центр параллелограмма BPXQ. Треугольники AOB и ABC – равнобедренные, поэтому ∠BAO = ∠ABO = ∠OBQ. Значит, треугольники APO и BQO равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, OP = OQ, то есть OM – серединный перпендикуляр к PQ.
Замечания
5 баллов
