Задача 65228

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Прокопенко Д.

На стороне BE правильного треугольника ABE вне его построен ромб BCDE. Отрезки AC и BD пересекаются в точке F. Докажите, что  AF < BD.

Решение

Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно,  ∠BAC = ∠BCA  (см. рис.). Кроме того, в силу симметрии,  ∠BCA = ∠BEF.  Следовательно,  ∠BAF = ∠BEF,  то есть четырёхугольник ABFE – вписанный. Значит,  ∠AFE = ∠ABE = 60°  и  ∠DFE = ∠BAE = 60°.  Кроме того,
∠FDE = ∠FBE = ∠FAE,  поэтому  ∠AEF = ∠DEF.  Следовательно, треугольник AEF равен треугольнику DEF по двум сторонам и углу между ними. Таким образом,  AF = DF < BD,  что и требовалось.

Замечания

Равенство углов AEF и DEF можно доказать и непосредственным подсчетом. Пусть  ∠BAC = ∠BCA = ∠BEF = α,  тогда  ∠ABC = 180° – 2α,  то есть  ∠EBC = 120 – 2α.  Следовательно, ∠BED = 60° + 2α,  то есть  ∠FED = 60° + α = ∠FEA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	13 (2015 год)
Дата	2015-04-13
класс
Класс	8-9
задача
Номер	5