|
|
 |
Условие
В пространстве дан треугольник ABC и сферы S1 и S2, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S1, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S2 вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A1, B1 и C1, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.
Решение
Пусть O1 и O2 – центры данных сфер. Достаточно доказать, что расстояние от точки O2 до рассматриваемой плоскости постоянно.
Лемма 1. Пусть окружности Ω1 и Ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках B и C, точка M лежит на Ω1, прямые MB и MC пересекают Ω2
в точках B1 и C1 (рис. слева). Тогда MO1 ⊥ B1C1.
Доказательство. ∠CMO1 = 90° – ∠MBC = 90° – ∠MC1B1.
Лемма 2. В условиях леммы 1 растояние от центра O2 до хорды B1C1 постоянно.
Доказательство. Заметим, что угол BMC и дуга BC второй окружности постоянны. Следовательно, дуга B1C1 также постоянна, то есть постоянны длина хорды B1C1 и расстояние от неё до центра окружности Ω2.
(Другие случаи расположения точки M в леммах рассматриваются аналогично.)
Докажем, что MO1 – высота пирамиды
MA1B1C1 (рис. справа). Заметим, что точка O – проекция O1 на плоскость MB1C1 – является центром
описанной окружности треугольника BMC. По лемме 1 MO ⊥ B1C1. Учитывая перпендикулярность O1O и B1C1, получим, что (MO1O) ⊥ B1C1, то есть (MO1O) ⊥ (A1B2C1),
поэтому высота пирамиды принадлежит плоскости (MO1O). Рассматривая аналогичные проекции точки O1 на другие грани пирамиды, получим, что MO1 – высота.
Таким образом, плоскости (MO1O2) и (A1B1C1) перпендикулярны.
Рассмотрим сечение MO1O2. Оно проходит через центры сфер, то есть пересекает их по большим окружностям (поэтому для любого расположения точки M эти пары окружностей совмещаются поворотом вокруг оси O1O2). Кроме того, это сечение перпендикулярно плоскости (A1B1C1). Пусть O2K – перпендикуляр, опущенный на плоскость (A1B1C1). Тогда O2K ⊥ (A1B1C1), следовательно, O2K лежит в плоскости (MO1O2), то есть по лемме 2 расстояние O2K постоянно.
Замечания
Также можно было рассматривать "движение" точки M по параллелям и меридианам первой сферы.
