|
|
 |
Условие
Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби 1/n, 2/n, ..., n–1/n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют разную чётность?
Решение
Пусть n = 2t·m, где t ≥ 0, а число m нечётно. Докажем, что число f(n) чётно ровно в двух случаях: либо n нечётно и m ≡ 1 (mod 4), либо же n чётно и m ≡ 3 (mod4 ).
Первый способ. Рассмотрим произвольную дробь k/n. Если k делится на 2t+1, то числитель этой дроби после сокращения будет чётен, в противном случае он будет нечётен. Среди чисел 1, 2, ..., n – 1 есть ровно m–1/2 чисел, делящихся на 2t+1. Значит, в сумме f(n) имеется ровно n – 1 – m–1/2 нечётных слагаемых. Поэтому f(n) чётно тогда и только тогда, когда числа n – 1 и m–1/2 имеют одинаковую чётность, что и требовалось.
Второй способ. Пусть n нечётно (то есть t = 0). Тогда числитель дроби k/n не меняет чётность после сокращения. Значит, количество нечётных числителей будет равно n–1/2, и число f(n) чётно ровно тогда, когда чётно число n–1/2, то есть при m ≡ 1 (mod 4).
Пусть n чётно (t > 0). Среди дробей со знаменателем n есть дробь, равная ½ и вносящая в f(n) слагаемое 1. Все остальные дроби разбиваются на пары вида
(a/n, n–a/n). Поскольку сумма дробей в паре равна 1, после сокращения они переходят в пары несократимых дробей с одинаковым знаменателем вида
(b/d, d–b/d). Вклад такой пары дробей в f(n) равен d, и, если d чётно, он не влияет на чётность числа f(n).
Таким образом, чётность f(n) противоположна чётности аналогичной суммы для дробей то есть чётности числа f(m) (при m = 1 она противоположна чётности f(1) = 0). Отсюда и следует требуемое.
Осталось заметить, что числа n и 2015n имеют одну чётность; кроме того, при нечётном m числа m и 2015m дают разные остатки при делении на 4. Значит, числа f(n) и f(2015n) всегда имеют разную чётность.
Ответ
При всех натуральных n > 1.
