Задача 65278

Темы:    [ Непрерывное распределение ] [ Условная вероятность ] [ Отношения площадей (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
  а) Какова вероятность того, что они встретятся?
  б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
  в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?

Решение

  а) Изобразим графически времена прихода. Время прихода Жени будем откладывать по оси Х, а время прихода Коли – по оси Y.

  Фигура, обвёденная чёрным, есть множество тех времен прихода обоих, при которых они встретятся. Вероятность равна отношению времен прихода, которые удовлетворяют условию встречи, к множеству возможных приходов. Таким образом, надо разделить площадь выделенной части на площадь квадрата 6×6.

  б) Изобразим графически времена прихода, как в пункте а). В этом случае возможное время прихода Жени будет находиться в интервале от 0 до 30 мин. Площадь выделенной фигуры относится к площади всей фигуры 6×3 как  5,5 : 18 = ¹¹/₃₆.  Таким образом, вероятность осталась неизменной.

  в) Из рисунка, соответствующего новому условию, видно, что вероятность равна  9,5 : 30 = ¹⁹/₆₀ > ¹¹/₃₆.

Ответ

а) ¹¹/₃₆;  б) ¹¹/₃₆;  в) ¹⁹/₆₀.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2009
задача
Номер	2